Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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Et décrire Z3 /L. 3. Soit x = (n1 , . . , np ) ∈ Zp . 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) PGCD (n1 , . . , np ) = 1. (ii) Le vecteur x fait partie d’une base de Z p . (iii) Il existe A ∈ SLp (Z) telle que At x =t (1, 0, . . , 0). 2. On pose p = 4 et x = (10, 6, 7, 11). Compléter x en une base de Z 4 . 4. 5. Montrer qu’il y a (à isomorphisme près) trois groupes abéliens d’ordre 8. 6. Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes abéliens d’ordre 72 ainsi que leurs facteurs invariants.

35. Soit M un A-module de type fini sans torsion. Alors M est libre. 36. Le corps des rationnels Q est un exemple de Z-module sans torsion et non libre (si q1 = a/b et q2 = c/d sont deux rationnels non nuls, on a la relation bcq1 − adq2 = 0). 35. 33. a) Existence. Le module M est par hypothèse de type fini. Soit (m 1 , . . , mn ) un système (fini) de générateurs de M . 2). Soit N = ker f . 29 au sous-module N de L1 : il existe une base (f1 , . . , fn ) de L1 et des éléments 2 • Modules de type fini 40 bi ∈ A tels que b1 |b2 | .

En particulier toute matrice M ∈ SL n (A) est inversible. Le lemme suivant est le lemme technique essentiel pour tout ce qui concerne la calcul matriciel sur A. 11. Soient x et y deux éléments de A, z un PGCD de x et y (défini à multiplication par un élément de A ∗ près). Il existe alors une matrice : α β γ δ ∈ SL2 (A) telle que : α β γ δ x y = z 0 (1) Démonstration. On peut supposer que (x y) = (0 0) (sinon, tout est nul). Il existe alors deux éléments u et v dans A tels que z = ux + vy (formule (1) du chapitre 1) (si x = 0 (resp.

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